О степенях свободы в статистике. В этот момент всегда встает вопрос - а с чего начать? Но почему n минус один

В одном из предыдущих постов мы обсудили, пожалуй, центральное понятие в анализе данных и проверке гипотез - p-уровень значимости. Если мы не применяем байесовский подход, то именно значение p-value мы используем для принятия решения о том, достаточно ли у нас оснований отклонить нулевую гипотезу нашего исследования, т.е. гордо заявить миру, что у нас были получены статистически значимые различия.

Однако в большинстве статистических тестов, используемых для проверки гипотез, (например, t-тест, регрессионный анализ, дисперсионный анализ) рядом с p-value всегда соседствует такой показатель как число степеней свободы, он же degrees of freedom или просто сокращенно df, о нем мы сегодня и поговорим.

Степени свободы, о чем речь?

По моему мнению, понятие степеней свободы в статистике примечательно тем, что оно одновременно является и одним из самым важных в прикладной статистике (нам необходимо знать df для расчета p-value в озвученных тестах), но вместе с тем и одним из самых сложных для понимания определений для студентов-нематематиков, изучающих статистику.

Давайте рассмотрим пример небольшого статистического исследования, чтобы понять, зачем нам нужен показатель df, и в чем же с ним такая проблема. Допустим, мы решили проверить гипотезу о том, что средний рост жителей Санкт-Петербурга равняется 170 сантиметрам. Для этих целей мы набрали выборку из 16 человек и получили следующие результаты: средний рост по выборке оказался равен 173 при стандартном отклонении равном 4. Для проверки нашей гипотезы можно использовать одновыборочный t-критерий Стьюдента, позволяющий оценить, как сильно выборочное среднее отклонилось от предполагаемого среднего в генеральной совокупности в единицах стандартной ошибки:

Проведем необходимые расчеты и получим, что значение t-критерия равняется 3, отлично, осталось рассчитать p-value и задача решена. Однако, ознакомившись с особенностями t-распределения мы выясним, что его форма различается в зависимости от числа степеней свобод, рассчитываемых по формуле n-1, где n - это число наблюдений в выборке:

Сама по себе формула для расчета df выглядит весьма дружелюбной, подставили число наблюдений, вычли единичку и ответ готов: осталось рассчитать значение p-value, которое в нашем случае равняется 0.004.

Но почему n минус один?

Когда я впервые в жизни на лекции по статистике столкнулся с этой процедурой, у меня как и у многих студентов возник законный вопрос: а почему мы вычитаем единицу? Почему мы не вычитаем двойку, например? И почему мы вообще должны что-то вычитать из числа наблюдений в нашей выборке?

В учебнике я прочитал следующее объяснение, которое еще не раз в дальнейшем встречал в качестве ответа на данный вопрос:

“Допустим мы знаем, чему равняется выборочное среднее, тогда нам необходимо знать только n-1 элементов выборки, чтобы безошибочно определить чему равняется оставшейся n элемент”. Звучит разумно, однако такое объяснение скорее описывает некоторый математический прием, чем объясняет зачем нам понадобилось его применять при расчете t-критерия. Следующее распространенное объяснение звучит следующим образом: число степеней свободы - это разность числа наблюдений и числа оцененных параметров. При использовании одновыборочного t-критерия мы оценили один параметр - среднее значение в генеральной совокупности, используя n элементов выборки, значит df = n-1.

Однако ни первое, ни второе объяснение так и не помогает понять, зачем же именно нам потребовалось вычитать число оцененных параметров из числа наблюдений?

Причем тут распределение Хи-квадрат Пирсона?

Давайте двинемся чуть дальше в поисках ответа. Сначала обратимся к определению t-распределения, очевидно, что все ответы скрыты именно в нем. Итак случайная величина:

Имеет t-распределение с df = ν, при условии, что Z – случайная величина со стандартным нормальным распределением N(0; 1), V – случайная величина с распределением Хи-квадрат, с ν числом степеней свобод, случайные величины Z и V независимы. Это уже серьезный шаг вперед, оказывается, за число степеней свободы ответственна случайная величина с распределением Хи-квадрат в знаменателе нашей формулы.

Давайте тогда изучим определение распределения Хи-квадрат. Распределение Хи-квадрат с k степенями свободы - это распределение суммы квадратов k независимых стандартных нормальных случайных величин.

Кажется, мы уже совсем у цели, по крайней мере, теперь мы точно знаем, что такое число степеней свободы у распределения Хи-квадрат - это просто число независимых случайных величин с нормальным стандартным распределением, которые мы суммируем. Но все еще остается неясным, на каком этапе и зачем нам потребовалось вычитать единицу из этого значения?

Давайте рассмотрим небольшой пример, который наглядно иллюстрирует данную необходимость. Допустим, мы очень любим принимать важные жизненные решения, основываясь на результате подбрасывания монетки. Однако, последнее время, мы заподозрили нашу монетку в том, что у нее слишком часто выпадает орел. Чтобы попытаться отклонить гипотезу о том, что наша монетка на самом деле является честной, мы зафиксировали результаты 100 бросков и получили следующий результат: 60 раз выпал орел и только 40 раз выпала решка. Достаточно ли у нас оснований отклонить гипотезу о том, что монетка честная? В этом нам и поможет распределение Хи-квадрат Пирсона. Ведь если бы монетка была по настоящему честной, то ожидаемые, теоретические частоты выпадания орла и решки были бы одинаковыми, то есть 50 и 50. Легко рассчитать насколько сильно наблюдаемые частоты отклоняются от ожидаемых. Для этого рассчитаем расстояние Хи-квадрат Пирсона по, я думаю, знакомой большинству читателей формуле:

Где O - наблюдаемые, E - ожидаемые частоты.

Дело в том, что если верна нулевая гипотеза, то при многократном повторении нашего эксперимента распределение разности наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из наблюдаемой частоты, может быть описано при помощи нормального стандартного распределения, а сумма квадратов k таких случайных нормальных величин это и будет по определению случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат.

Давайте проиллюстрируем этот тезис графически, допустим у нас есть две случайные, независимые величины, имеющих стандартное нормальное распределение. Тогда их совместное распределение будет выглядеть следующим образом:

При этом квадрат расстояния от нуля до каждой точки это и будет случайная величина, имеющая распределение Хи-квадрат с двумя степенями свободы. Вспомнив теорему Пифагора, легко убедиться, что данное расстояние и есть сумма квадратов значений обеих величин.

Пришло время вычесть единичку!

Ну а теперь кульминация нашего повествования. Возвращаемся к нашей формуле расчета расстояния Хи-квадрат для проверки честности монетки, подставим имеющиеся данные в формулу и получим, что расстояние Хи-квадрат Пирсона равняется 4. Однако для определения p-value нам необходимо знать число степеней свободы, ведь форма распределения Хи-квадрат зависит от этого параметра, соответственно и критическое значение также будет различаться в зависимости от этого параметра.

Теперь самое интересное. Предположим, что мы решили многократно повторять 100 бросков, и каждый раз мы записывали наблюдаемые частоты орлов и решек, рассчитывали требуемые показатели (разность наблюдаемых и ожидаемых частот, деленная на корень из ожидаемой частоты) и как и в предыдущем примере наносили их на график.

Легко заметить, что теперь все точки выстраиваются в одну линию. Все дело в том, что в случае с монеткой наши слагаемые не являются независимыми, зная общее число бросков и число решек, мы всегда можем точно определить выпавшее число орлов и наоборот, поэтому мы не можем сказать, что два наших слагаемых - это две независимые случайные величины. Также вы можете убедиться, что все точки действительно всегда будут лежать на одной прямой: если у нас выпало 30 орлов, значит решек было 70, если орлов 70, то решек 30 и т.д. Таким образом, несмотря на то, что в нашей формуле было два слагаемых, для расчета p-value мы будем использовать распределение Хи-квадрат с одной степенью свободы! Вот мы наконец-то добрались до момента, когда нам потребовалось вычесть единицу. Если бы мы проверяли гипотезу о том, что наша игральная кость с шестью гранями является честной, то мы бы использовали распределение Хи-квадрат с 5 степенями свободы. Ведь зная общее число бросков и наблюдаемые частоты выпадения любых пяти граней, мы всегда можем точно определить, чему равняется число выпадений шестой грани.

Все становится на свои места

Теперь, вооружившись этими знаниями, вернемся к t-тесту:

В знаменателе у нас находится стандартная ошибка, которая представляет собой выборочное стандартное отклонение, делённое на корень из объёма выборки. В расчет стандартного отклонения входит сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от их среднего значения - то есть сумма нескольких случайных положительных величин. А мы уже знаем, что сумма квадратов n случайных величин может быть описана при помощи распределения хи-квадрат. Однако, несмотря на то, что у нас n слагаемых, у данного распределения будет n-1 степень свободы, так как зная выборочное среднее и n-1 элементов выборки, мы всегда можем точно задать последний элемент (отсюда и берется это объяснение про среднее и n-1 элементов необходимых для однозначного определения n элемента)! Получается, в знаменателе t-статистики у нас спрятано распределение хи-квадрат c n-1 степенями свободы, которое используется для описания распределения выборочного стандартного отклонения! Таким образом, степени свободы в t-распределении на самом деле берутся из распределения хи-квадрат, которое спрятано в формуле t-статистики. Кстати, важно отметить, что все приведенные выше рассуждения справедливы, если исследуемый признак имеет нормальное распределение в генеральной совокупности (или размер выборки достаточно велик), и если бы у нас действительно стояла цель проверить гипотезу о среднем значении роста в популяции, возможно, было бы разумнее использовать непараметрический критерий.

Схожая логика расчета числа степеней свободы сохраняется и при работе с другими тестами, например, в регрессионном или дисперсионном анализе, все дело в случайных величинах с распределением Хи-квадрат, которые присутствуют в формулах для расчета соответствующих критериев.

Таким образом, чтобы правильно интерпретировать результаты статистических исследований и разбираться, откуда возникают все показатели, которые мы получаем при использовании даже такого простого критерия как одновыборочный t-тест, любому исследователю необходимо хорошо понимать, какие математические идеи лежат в основании статистических методов.

Онлайн курсы по статистике: объясняем сложные темы простым языком

Основываясь на опыте преподавания статистики в , у нас возникла идея создать серию онлайн курсов, посвященных анализу данных, в которых в доступной для каждого форме будут объясняться наиболее важные темы, понимание которых необходимо для уверенного использования методов статистики при решении различного рода задача. В 2015 году мы запустили курс Основы статистики , на который к сегодняшнему дню записалось около 17 тысяч человек, три тысячи слушателей уже получили сертификат о его успешном завершении, а сам курс был награждён премией EdCrunch Awards и признан лучшим техническим курсом. В этом году на платформе stepik.org стартовало продолжение курса Основы статистики. Часть два , в котором мы продолжаем знакомство с основными методами статистики и разбираем наиболее сложные теоретические вопросы. Кстати, одной из главных тем курса является роль распределения Хи-квадрат Пирсона при проверке статистических гипотез. Так что если у вас все еще остались вопросы о том, зачем мы вычитаем единицу из общего числа наблюдений, ждем вас на курсе!

Стоит также отметить, что теоретические знания в области статистики будут определенно полезны не только тем, кто применяет статистику в академических целях, но и для тех, кто использует анализ данных в прикладных областях. Базовые знания в области статистики просто необходимы для освоения более сложных методов и подходов, которые используются в области машинного обучения и Data Mining. Таким образом, успешное прохождение наших курсов по введению в статистику - хороший старт в области анализа данных. Ну а если вы всерьез задумались о приобретении навыков работы с данными, думаем, вас может заинтересовать наша онлайн - программа по анализу данных, о которой мы подробнее писали . Упомянутые курсы по статистике являются частью этой программы и позволят вам плавно погрузиться в мир статистики и машинного обучения. Однако пройти эти курсы без дедлайнов могут все желающие и вне контекста программы по анализу данных.

Теги: Добавить метки

Степени свободы в жизни живых систем

У каждой живой системы имеется семь степеней свободы. Шесть из них являются алгоритмическими факторами развития Вселенной и одна - степень свободы духа . Все степени свободы равноправны в том смысле, что они либо отсутствуют на определённом этапе её развития («заморожены»), либо присутствуют в максимально возможной для данной Вселенной степени. При этом каждая живая система во Вселенной, будучи её подсистемой, обладает теми же степенями свободы того же вида и качества , но в различное время (на различной стадии развития) неодинаковыми по количеству реализации данного свойства (степени свободы).

Чем выше уровень системы по своему развитию (плану и сфере Бытия), тем бо льшее количество степеней свободы и/или в большей мере проявляется та или иная степень свободы в её жизнедеятельности и используется для саморазвития. При этом толчок к саморазвитию может осуществляться как изнутри, так и извне.

Высшая степень свободы духа выражается в полном самоосознании системой своей цели и роли в жизни Вселенной и (или) может быть даже всего Космоса, которое, будучи основой целенаправленного волевого устремления, даёт возможность активного участия системы в Восходящей Эволюции Мироздания. Полная свобода духа является наградой системе за преображение её в более совершенную на протяжении всех ступеней развития, но в то же время она определяет высочайший спрос (Закон Космической Морали) за всё содеянное с момента открытия данной степени свободы. Таким образом, нарастание каждой степени свободы от шага к шагу делает её не только более совершенной материально (структурно), но и духовно (энергетически).

Все степени свободы, кроме свободы духа, в основном, способствуют становлению вида жизни, а последняя (свобода духа) делает его более совершенным среди аналогичных видов. Однако и эта степень свободы для каждого вида жизни своя и она становится причиной самосовершенствования независимо от того, откуда поступает сигнал на это преобразование.

«Вклиниваясь в разговор», многие системы высших порядков хотят воздействовать на системы более низких уровней. Однако рассуждения о том «быть или не быть» и «каковой быть» системе данного уровня на данной ступени развития Вселенной решается не просто мыслящими системами, а системами разумными и высокоразвитыми. Для каждого уровня системы есть свой Иерарх, решение которого имеет силу и никто более не смеет вмешиваться и рассуждать на данную тему («Всяк сверчок знай свой шесток» - прекрасная поговорка о смысле Иерархий в Космосе).

В жизни человеческой цивилизации Верховным Иерархом является Бог-Отец (религиозно-теистический термин), Руководящей Силой - креационные потоки Психической Энергии высшего качества, идущие из созвездий Ориона, Лебедя, Большого Пса, иногда из Веги (по запросу Высшего Совета Иерархов Вселенной). Когда данные энергии достигают высокоразвитых существ (систем жизни), происходит демографический3 взрыв и начинаются процессы трансмутационных преобразований видов жизни и форм их существования и сосуществования (т.е., в том числе, и социальный или социально-политический кризис, разрешаемый путём эволюции или революции).

Я завернул буженину в пергаментную бумагу. Утром отнесу Бесте, сторожевой овчарке на автостоянке. Такой лакомый кусочек она проглотит не жуя. А сейчас приму душ, выпью чаю с медом и лягу спать. И проснусь прежним человеком. У меня много работы. Во-первых, надо довести до ума все наши наработки по делу о вымогателе и передать их следователю. Во-вторых, надо договориться с местной газетой о рекламе. И, в-третьих…

Завершить создание плана действий на ближайшее время не удалось. Проклятый телефонный звонок! Неужели снова Ирина? Какую бяку она еще хочет подложить мне? Я выплюнул недожеванный кусок мяса в окно и, вытирая на ходу руки полотенцем, вернулся в комнату. Прежде чем ответить, по привычке глянул на дисплей. На этот раз номер был мне незнаком.

– Кирилл Андреевич? – спросил меня мужской голос. – Я старший оперативной группы вневедомственной охраны. Вы не могли бы подъехать сейчас к вашему офису?

Никогда прежде мне не звонили из вневедомственной охраны. Я даже предположить не мог, зачем понадобился старшему оперативной группы. Может быть, Ирина что-нибудь в сердцах начудила? К примеру, разбила тонированное стекло в черном «жигуле»…

– А что случилось?

Могло показаться, что этот вопрос оказался для моего собеседника сложным. Он начал мычать, покашливать, затем нехотя сказал:

– Видите ли, на пульте сработала сигнализация, мы приехали на объект очень быстро, но никого не застали. Скорее всего, несанкционированного проникновения в помещение не было. Может, вы забыли запереть окно на замки и его открыло сквозняком?

«Ирина!» – мстительно подумал я. Она ушла с чистой совестью, а вот закрыть окна забыла. Или нарочно не сделала этого.

Пришлось срочно ехать в офис. У входа в агентство стояла милицейская машина, рядом с ней скучали два парня в форме и с автоматами наперевес. По их виду можно было судить о том, как много приходилось им выезжать по ложным вызовам и как это занятие им надоело. У меня проверили документы.

– Входная дверь и все замки целы, – начал вводить меня в оперативную обстановку рыжеволосый сержант. Он шел рядом со мной, и ствол его короткого автомата все время упирался мне под ребро. – А вот окно – полюбуйтесь – приоткрыто. Я постою здесь, а вы с моим коллегой зайдите внутрь через дверь.

Мы зашли в подъезд и приблизились к металлической двери агентства. Я открыл замок. Милиционер вежливо отстранил меня и зашел в офис первым. Для воришек наше агентство не представляло никакой ценности, поживиться у нас им было нечем, и потому я был спокоен, как слон.

– Ничего не пропало? – спросил милиционер, когда мы обошли один за другим все кабинеты и заглянули в уборную.

В агентстве царил привычный порядок. Из кабинета Ирины еще не успел выветриться запах духов. Я для проформы заглянул в ящик своего стола, а затем в холодильник. Вынул ополовиненную бутылку водки и разлил ее по пластиковым стаканчикам. Водка простояла в холодильнике целый месяц, но, похоже, не выдохлась. К нам присоединился второй милиционер. Мы выпили под тост: «За бдительность вневедомственной охраны!» Рыжий стал закрывать окно, изо всех сил надавливая на раму. Окно скрипело и пищало. Каждое лето, когда переставали топить, оконные рамы разбухали от сырости. Закрыть и тем более открыть окно становилось непросто, и потому версию со сквозняком я сразу отмел. Пожалуй, это были проделки Ирины. Желая отомстить, она решила испортить мне романтический вечер. Поставила офис на сигнализацию, вышла на улицу и толкнула раму. В милиции сработала сигнализация, и в итоге меня вытащили из дома.

– Водка так себе, – сказал рыжий.

Я понял намек и полез за кошельком. Милиционеры закусили конфеткой, которую нашли на столе Ирины, пожелали мне впредь быть повнимательнее и удалились.

За окнами стемнело. Багряный отблеск заката налип на стену. Я сидел за столом Ирины. Она забрала все свои вещи, которые прежде были здесь всегда, – маленькое зеркальце, малахитового кота, шариковую ручку, похожую на гусиное перо. Как тяжело на душе! Будто Ирина умерла. Мне ее было жалко, ее осиротевший стол источал добрую, теплую память.

Я придвинул к себе телефон и набрал номер ее мобильника. Я помнил его наизусть.

– Послушай, не звони мне больше, – ответила Ирина. Я слышал приглушенную музыку и гул автомобильного мотора.

– Ты забыла закрыть окно, – сказал я с легким укором. Я пытался вести себя так, будто ничего не случилось: я начальник, она моя подчиненная, лучшая подчиненная, самая лучшая, на которую я никогда не повышал голос, а за мелкие огрехи лишь ласково журил.

– Я все закрыла! И мне по барабану твои проблемы!

Она отключила связь. В одной руке я продолжал держать трубку, другой стал массировать грудь. Я не ожидал, что наш разговор будет таким коротким. Я хотел ей предложить встретиться и спокойно обсудить все наши проблемы. Не успел. Ну и пусть проваливает. Мне надоели ее капризы. Звонить ей больше не буду. На лбу себе напишу: Ирине не звонить!

Я встал из-за стола, взялся за него и развернул. Новый сотрудник будет сидеть лицом к двери, а не спиной, как это делала Ирина. И это будет мужчина. Никаких женщин в моем агентстве!

За перегородкой зазвонил телефон. Кому это нечего делать, кроме как названивать поздним вечером в частную детективную контору?

– Слушаю!

Я пытался обмануть себя, сделать вид, что не замечаю хлынувшей на меня надежды – а вдруг это Ирина? Вдруг опомнилась, успокоилась и сейчас скажет: «Ладно, Кирилл! Давай мириться!»

В трубке – тихий шорох, сдержанное дыхание.

– Если вы хотите, чтобы я вас услышал, говорите громче, – попросил я.

Короткие гудки. Нет, это не Ирина. Она не позвонит. А если позвонит, то молчать не станет. Это не в ее духе. Ее поступки всегда цельны, имеют начало и исчерпывающее завершение. Если она идет со мной в ресторан, то гуляет там до закрытия, и мне иногда приходится выносить ее на руках. Если увязывается за мной в горы, то умирает, но добирается до вершины. Если уходит, то уже не возвращается. А уж ежели кого-то возненавидит, то этому человеку лучше сразу удавиться…

Никогда еще моя контора не вызывала во мне такого гнетущего чувства. Призрак Ирины витал между стен. Ее стол, шкаф для одежды, листочки перекидного календаря, исписанные ее рукой, и легкий, едва уловимый запах ее духов оставались последним связующим звеном с той, живой, настоящей, но уже недоступной женщиной. Мне трудно было представить, что завтра я приду в агентство и не увижу ее на своем рабочем месте, и Никулин уже не скажет мне с язвительной усмешкой: «Зайди к Ирише, чудовище, она приготовила тебе кофе».

Я вздрогнул от телефонного звонка. Гнусное изобретение – телефон. Кто-то навязывает мне свою волю, врывается в мой мир, нагло заявляет о себе, требует к себе внимания. А я не хочу ни с кем говорить, не хочу даже знать о том, что кому-то нужен. Я смотрел на желтый аппарат, подрагивающий от звонков. Казалось, там сидит маленький злобный человечек, который требует, чтобы его выпустили. Сколько раз за сегодняшний вечер в мою жизнь вмешивался телефонный звонок. И к чему это в конце концов привело? Я чувствую себя почти несчастным. Люди должны разговаривать, глядя друг другу в глаза, чувствуя дыхание друг друга, видя мимику, жесты – все это несет несравнимо больше информации, чем просто слова. Разве Ирина, стоя передо мной, позволила бы сказать: «Мне по барабану твои проблемы!»

Я поднял трубку. Тишина.

– Что вам от меня надо? – спросил я.

И опять короткие гудки. Я взялся за провод и выдернул вилку из розетки. Так-то лучше. А теперь домой! Чай с медом – и спать! И надо будет в ближайшие дни сделать в офисе ремонт. Причем начать с кабинета Ирины. Сорвать старые обои, выкинуть столы, стулья, цветы с горшками, дурацкие календари с котятами. Все на мусорную свалку! Ирина гордая, и я тоже гордый. Рубить так рубить…

На пульт охраны позвонил уже с улицы. Какой теплый и душный вечер! Быть грозе. Да вот и всполохи на темном небе видны. Пока беззвучные, немые, словно отблески сварочного аппарата. Но пройдет час или два, и над Побережьем начнет буйствовать стихия. Потоки воды низвергнутся на город, потекут по теплому асфальту ручьи, и кинется народ в кафе, под карнизы домов, накрывая головы то сумочками, то полиэтиленовыми пакетами, то газетами, и заблестят серебром в лучах фонарей мокрые листья деревьев, и раскаты грома заглушат музыку, доносящуюся с набережной.

Не дошел я еще до своей машины, как вспомнил про злосчастное окно. Так закрыл я его или нет? Сначала один милиционер баловался с ним, давил на раму, дергал за ручки, потом другой. Может быть, я благополучно забыл о нем и оставил приоткрытым? Пришлось развернуться и обойти дом, глядя на окна первого этажа, занятого моим агентством. Двор у нас тихий, темный. Оставь канализационный люк открытым – ни за что не заметишь. Нормальные люди стараются в сумерках обходить это место стороной. Даже вездесущие бомжи не обжили плотные кусты. И уж, конечно, никакой водитель не оставит здесь на ночь свою тачку, а если сделает это, то имеет много шансов утром найти ее «раздетой». Потому-то я с удивлением заметил в плотном мраке прижавшуюся к кустам «девятку». Она была черной, как смола, плюс к этому тонированные стекла. Словом, черная кошка в темной комнате. Мне показалось, что боковое стекло, которое рядом с водителем, слегка опущено и где-то в непроглядной утробе машины, словно Марс на ночном небе, мерцает кровавый огонек сигареты.

Впрочем, я сразу забыл об этой машине. Проверив окна и убедившись, что они заперты, я вернулся к своему «Опелю». Сел за руль, запустил мотор, но некоторое время не трогался с места. Мне нравится сидеть в темном салоне машины и смотреть на светящиеся призрачным зеленоватым светом приборы. Уютно и покойно. Наверное, это напоминало далекое детство. В моей спальне стоял громоздкий старомодный приемник с широкой, обитой материей панелью. И на ней зеленым светом горел индикатор настройки. Если волна уходила, на индикаторе, словно павлиний хвост, распускался зеленый луч. Мама включала приемник по вечерам и находила тихую музыку. И я, прежде чем заснуть, подолгу смотрел на светящийся в темноте зеленый глаз, как он меняется, переливается, словно подмигивает мне.

Я медленно тронулся с места. Мне так сильно не хотелось домой, что даже силой воли я не мог заставить себя давить на педаль акселератора сильнее. Придумал повод поехать на другой конец города, на хлебопекарный завод, где можно было купить горячий лаваш. Я катился по набережной Дерекойки в правом ряду со скоростью похоронной процессии. Меня обгоняли даже старые полуживые «Запорожцы». На ветровом стекле появились отметины первых дождевых капель. Я включил магнитолу и поставил кассету Вивальди. Ирине очень нравились его концерты, особенно «Времена года». Когда звучали минорные тона осени, на ее глаза накатывали слезы. Тонкая, ранимая натура.

На площади автовокзала я развернулся и покатил в сторону набережной. У закрытых ворот центрального рынка, словно тени, бродили не то уборщики, не то бомжи. Они собирали картонные коробки, сплющивали их и складывали в стопку. Неопрятный сутулый мужчина кинул картонку под куст, опустился на колени, затем повалился на бок, скрутился калачиком, как озябшая собака, и стал неподвижен. Две девушки голосовали проходящим мимо машинам, выйдя едва ли не на середину дороги. Легковушки притормаживали, аккуратно объезжали их. Девушки прыгали от нетерпения, курили, отхлебывали из жестяных баночек.

– Эй, мужчина! – громко крикнула одна из них и пригнулась, чтобы лучше рассмотреть меня через ветровое стекло. – Жизнь слишком коротка, чтобы отказывать себе в маленьких радостях…

Я часто подвозил Ирину домой после работы. Ослепленные фарами проститутки не сразу замечали рядом со мной девушку и кидались к машине, предлагая мне свои услуги. Ирина реагировала на это со святостью и чистотой взращенного в монастыре ребенка. Она дико смущалась, и выступивший на ее щеках румянец был заметен даже в сумерках. В ее молчании угадывалось необъяснимое чувство вины передо мной, будто она хотела сказать: наверное, я помешала тебе? Наверное, ты хотел бы пригласить их в машину?

Я чуть не отдавил колесом смело выставленную ножку и, проехав мимо жриц любви, невольно посмотрел в зеркало заднего вида. Девушки кинулись на идущую следом машину, и только сейчас я увидел, что это была та же черная «девятка» с тонированными стеклами. Во всяком случае, как две капли воды похожая на ту, что стояла в нашем дворе. В ответ на предложение девушек из окна «девятки» вылетел окурок и, прочертив малиновую дугу, разбился в искры об асфальт.

Может, это та самая машина, о которой говорила Ирина? Я не слишком вник в ее слова, когда она упомянула о какой-то «девятке»; я больше прислушивался к интонации, а само предупреждение о слежке воспринял лишь как желание Ирины испортить мне настроение. Меня покоробили слова «твое агентство», и ни о чем другом я уже думать не мог.

Я прижал машину к обочине и остановился. «Девятка» проехала мимо, свернула в какой-то проулок и исчезла за углом дома. Нет, никто за мной не следит. Никому я не нужен. Что я собой представляю, чтобы за мной следить? Я не политик, не банкир, у меня нет с собой чемоданчика, набитого баксами. Я руководитель частного детективного агентства, которое по своей сути является нелегальным филиалом местного ОВД. В год у нас бывает не больше тридцати заказов, что приносит нам весьма скромную прибыль, но зато большие неприятности, где конфликты с милицией – самое обычное дело.

За строем пальм светилась витрина продуктового магазина. Надо что-то взять к ужину. Когда на душе тяжко, надо отягощать желудок. Для равновесия, чтобы к утру не перекособочило. Устрою-ка я себе развратный ужин. Возьму баночку маслин, маринованные грибы, нарезку сырокопченой колбасы, граммов сто осетрины, икорки, корейской морковки и водочки. И отпраздную свое одиночество. Одиночество – это высшая степень свободы. Бледная продавщица, одуревшая от духоты, посмотрела на меня с плохо скрытой ненавистью.

– Мужчина, – растягивая гласные, звонко сказала она, – мы водку в морозильнике не держим. Вся винно-водочная продукция на прилавке.

Бог с ней, пусть будет теплая. Пока накрою стол, бутылка успеет покрыться инеем в морозильнике. Только сейчас я почувствовал, что голоден. Завтракал я в аэропорту Беслана перед посадкой в самолет – чашечка кофе и тонкий хлебец с сыром. И больше ничего за весь день. Увесистый пакет пришлось нести двумя руками. Я уже приготовился толкнуть ногой стеклянную дверь, чтобы выйти из магазина, как высокая тоненькая девушка в кроваво-красной юбке услужливо распахнула ее передо мной. Оказывается, есть еще добрые люди на свете! Я поблагодарил девушку за порыв альтруизма и вышел из магазина. Девушка, словно голодная кошка, которая угадала в пакете сосиски, снова оказалась рядом со мной. С мольбой заглядывая мне в глаза, она пролепетала:

– Простите, пожалуйста! Мне надо срочно позвонить подруге и сказать, что я не смогу к ней приехать. Вы не могли бы дать мне на секундочку свой мобильник? Я скажу всего лишь два слова.

Всё, что вы хотели об этом знать, но не знали, что вы этого хотите.

При разговоре о биомеханике человеческого тела часто возникает понятие степеней свободы. Например, без этого трудно обойтись, говоря об устройстве и классификации суставов. При этом способ подсчёта этих степеней свободы и получающиеся числа часто остаются в некотором тумане. Эта статья для тех, кто чувствовал некоторую неудовлетворённость и отсутствие ясности после таких разговоров.

Сначала объясним на пальцах.

На пальцах

Если мы сравним паровоз, идущий по рельсам, и пароход, плывущий по морю, то чем отличается их движение? Паровоз может ехать только по рельсам. Он никуда с них не свернёт. Может только дать задний ход.

Пароход, в отличие от него, свободен плыть в любую сторону. Особенно если вокруг него бескрайний океан. Паровоз едет только по линии, а пароход - уже по плоскости. (Ну, ладно - по поверхности сферы. А точнее - геоида.) Пока скажем - нестрого и не очень правильно с точки зрения принятой терминологии, - что степень свободы парохода явно больше, чем паровоза.

А теперь возьмём самолёт. У него степень свободы оказывается ещё больше. Он уже может подняться в воздух. Он может попасть в любую точку пространства. Если, конечно, ему разрешит диспетчерская служба.

Это мы пока смотрели только на перемещения всех этих машин, или, как обычно говорят физики, - тел. Но ведь есть ещё и повороты. Паровоз не может ни задрать нос (подъём), ни наклониться в сторону (наклон), ни встать боком поперёк рельсов (поворот). Да, если рельсовый путь делает поворот, то паровоз повернёт вместе с рельсами. Но не сам. Поэтому такие повороты не считаются. Они не увеличивают степень свободы паровоза.

Пароход уже может сделать поворот. Пусть море пока будет спокойным и гладким как стекло, чтобы его легче было считать плоскостью. Тогда подъём пароходу недоступен так же как паровозу. Наклонить пароход набок, наверно, трудновато. Но если мы возьмём небольшую парусную яхту, то наклонить её, похоже, нет проблем. Судя по фотографиям, они большей частью так и плавают: перекосившись на сторону, с экипажем, висящим за бортом и чиркающим попами по гребням волн.

А вот самолёт может всё: и поднимать/опускать нос, и наклоняться в сторону, и поворачивать. Особенно если им управляет ас из отряда «Русские витязи». Они даже хвостом вперёд летают. И вверх тормашками. Что, правда, уже не увеличивает степень свободы самолёта - она и так максимальная.

Для контраста и для общности вообразим себе механизм с нулевой степенью свободы. Просто он никуда не едет: сломался. И с толкача завести не удалось.

Теперь постепенно начнём наводить научную строгость.

Одна степень свободы

Сразу же начнём выражаться более правильно. Будем говорить: «степени свободы», во множественном числе. Их может быть нуль, одна, две и так далее. Это просто число. Натуральное, т. е. целое положительное. Теперь нужно понять, как же их считают.

Вернёмся опять к началу - к паровозу. Пусть нам надо знать, как точно задать его положение на прямолинейном участке пути около станции. Свернуть он никуда не может. На другой путь тоже не может перейти: все стрелки мы предусмотрительно переключили так, чтобы он никуда не делся. Всё, что он может, это проехать несколько сотен метров в ту или обратную сторону. Как мы зададим его положение? Да просто расстоянием от какой-то точки на пути. Например, от точки, которая находится прямо напротив входа на станцию. Если паровоз проехал 100 метров от станции в сторону Санкт-Петербурга, то нам достаточно одного числа 100 м, чтобы знать, где он сейчас. А если он проехал те же 100 метров в сторону Москвы? Это же другой случай. Тогда мы напишем отрицательное число: –100 м. И снова будем точно знать, где паровоз.

Рис. 1. Паровоз на прямолинейном участке рельсов.

Итак, что мы получили? Чтобы в нашей ситуации знать точное расположение паровоза, нам нужно только одно число. Вот это и значит, что у паровоза - в рамках придуманной нами ситуации - одна степень свободы. А само это число будет называться координатой паровоза. Единственной координатой, которую нам нужно знать. Или которую нам нужно сказать машинисту, чтобы он знал, куда ему отогнать паровоз.

Пусть теперь у нас будет не прямой рельсовый путь, а извилистый. Что-нибудь это меняет? Ничего, пока паровоз никуда не может деться с этого пути. Мы точно так же можем мерить расстояние вдоль рельсов и точно так же можем задать положение паровоза одним числом - расстоянием от станции. У него по-прежнему остаётся только одна координата, только одна степень свободы.

Мы можем придумать для него и другую систему координат. Пусть это будет не настоящий паровоз, а игрушечный, который бегает по кругу. В этом случае мы по-прежнему можем в качестве координаты взять расстояние от игрушечной станции. 20 см - паровозик отъехал по часовой стрелке. –20 см - а это против часовой стрелки.

Рис. 2. Паровоз на рельсовом кругу. Координата - расстояние.

Но раз у нас круг - точнее, окружность, - то нам может показаться удобнее задавать положение паровозика углом. Отмечаем центр окружности, кладём туда транспортир и меряем угол между направлением на станцию - это будет нуль - и направлением на паровозик. Вот он проехал 90° по часовой стрелке - считаем, что его координата 90°. А вот он проехал 90° против часовой стрелки - тогда его координата будет –90°.

Рис. 3. Паровоз на рельсовом кругу. Координата - угол.

Но нам по-прежнему нужна только одна координата. Мы перешли от расстояний к углам, но ничего не изменилось. У паровозика по-прежнему одна степень свободы.

Сделаем даже так. Раз мы всё время поминаем часовую стрелку, то и воспользуемся часами. Положим их в центр круга и будем отмечать положение паровозика минутами на циферблате. Или часами - это менее точно, но удобно. Паровозик на 3 часа или на 9 часов - что может быть проще? И снова у него только одна координата. И одна степень свободы.

Рис. 4. Паровоз на рельсовом кругу. Координата - часы на циферблате.

Обобщим: если тело может двигаться только вдоль одной линии, сколь угодно кривой, оно имеет одну степень свободы. Но это, если мы говорим только о местонахождении тела и не учитываем его повороты, наклоны и подъёмы. Почему не учитываем? Может быть, нам это неважно. А может быть, оно и не может никуда деться, как паровоз на рельсах.

Две степени свободы

Так, а что у нас с пароходом, который плавает по морю? Сколько координат нам нужно в этом случае? Можно поглядеть на навигатор GPS и увидеть: две координаты. Долгота и широта. Как они там считаются, нам уже не важно. До тех пор, пока нас не интересует, куда пароход повернулся носом, а интересует только, в какой точке моря он находится, нам достаточно двух координат, которые нам выдаёт система GPS.

Рис. 5. Пароход в море. Координаты: широта и долгота.

Мы можем придумать и свою систему координат. Пусть, например, пароход плавает только в зоне видимости, а у нас есть компас и дальномер. Тогда мы в качестве координат можем взять направление на пароход (угол, определяемый по компасу) и расстояние до него (по дальномеру) от маяка, на башню которого мы взобрались и который назначили началом координат. В математике такую систему координат называют полярной.

Рис. 6. Пароход в полярных координатах.

И снова мы получаем две координаты. И две степени свободы для парохода. И снова замечание: мы при этом интересуемся только положением парохода в море. И не интересуемся, куда он при этом повернулся носом и как наклонился.

А если у нас не корабль по морю идёт, а пеший турист по горам? Неважно, у туриста тоже есть навигатор и он видит на нём те же две координаты. Т. е. поверхность не обязана быть плоской.

Обобщим: если тело может двигаться только по какой-то поверхности, пусть даже не плоской, оно имеет две степени свободы. Конечно, если мы не интересуемся его поворотами и наклонами.

Три степени свободы

Теперь уже несложно разобраться и с самолётом. Кроме двух координат, которые нам даст навигатор, нам понадобится ещё высота полёта, которую мы определим альтиметром. (Система GPS тоже вычисляет высоту, но довольно приблизительно.) Получаем три координаты и, соответственно, три степени свободы.

Для самолёта мы тоже можем ввести полярные координаты, только чуть сложнее. Нам понадобятся два угла: направление на самолёт по горизонтали (компас), направление на самолёт по вертикали (какой-то угломер), а также одно расстояние - от нас до самолёта (дальномер). И мы снова получим три координаты.

Рис. 7. Самолёт в полярных координатах.

Обобщим: если тело может двигаться куда угодно в трёхмерном пространстве, оно имеет три степени свободы. Опять же, если нас не интересует, как оно при этом повернулось и куда наклонилось.

А если интересует?

Подъём, наклон, поворот

Не будем уже возвращаться к паровозу, останемся с самолётом, рассмотрим самый сложный случай.

Если нам важно, не только, где самолёт сейчас летит, но и как он расположен в воздухе (я думаю, пилоту это важно), то нам оказывается мало уже имеющихся трёх координат.

Самолёт может задрать или опустить нос - будем это называть подъёмом. Может наклониться направо или налево - это так и назовём наклоном. И может повернуться направо или налево - это будет поворот. Получаем три угла - три новые координаты. Всего координат оказывается шесть. И шесть степеней свободы у нашего самолёта.

Рис. 8. Угловые координаты самолёта: подъём, наклон и поворот. На картинке с поворотом - вид сверху.

Обобщаем: тело в пространстве имеет шесть степеней свободы. И шесть координат: три пространственные и три угловые.

С пароходом и паровозом вы уже можете, наверно, разобраться сами.

Нужно, правда, сделать одно важное замечание.

Так три или шесть?

Получается, что количество степеней свободы какого-либо тела - это не его неизменное свойство. Это условная величина, которая зависит от того, что нам нужно знать, от условий нашей задачи. Вы сами видите: сначала мы насчитали у самолёта три степени свободы, а, изменив условия задачи, - все шесть. И тот, и другой ответ правильный. Но для разных вопросов.

Вы вот, например, уверены, что дважды два всегда четыре? Умножим 2 метра - длину квадратной комнаты - на 2 метра - её же ширину. Получаем 4 квадратных метра - площадь комнаты. Любой риэлтор с этим согласится. Возьмём теперь 2 метра стальной трубы и умножим на другие 2 метра такой же трубы. И где вы видите получившиеся 4 квадратных метра? Их не существует в природе. Вычисление было явно бессмысленным.

Проверим сложение. Один плюс один будет два. Возьмём один литр спирта и один литр воды и смешаем. Химия уверяет нас, что мы никак не получим 2 литра разбавленного спирта. Свойства спирта и воды таковы, что объём (именно объём, а не масса!) раствора будет всегда меньше, чем сумма исходных объёмов. Аналогично, смешав стакан воды и стакан соли, мы не получим два стакана рассола. Химия обманет нас и на этот раз.

Даже арифметика может ошибаться. Если ей пользоваться бездумно.

Для коллекции - нуль степеней свободы

Нуль - это понятно без слов. Сломанный механизм, который никуда не едет и который с места не свернёшь. Не нужно никаких координат - и так ясно, где он стоит. Нуль степеней свободы.

Ближе к телу

Теперь будем двигаться в сторону биомеханики. Поговорим о механизмах.

Те механизмы, о которых мы до сих пор говорили - паровозы, самолёты - мы вообще-то рассматривали не как механизмы, а как просто тела. Нам неважно было их внутреннее устройство. Теперь займёмся устройством механизмов. Но гораздо более простых.

Будем рассматривать механические системы, состоящие из твёрдых, нерастяжимых и негнущихся звеньев, соединённых шарнирами. Шарниры для начала рассмотрим двух типов: цилиндрические и шаровые.

Цилиндрический шарнир, или шарнирная петля, это соединение двух звеньев, которое позволяет им вращаться вокруг общей оси. Или, если мы считаем одно звено неподвижно закреплённым - неподвижной опорой, - то этот шарнир позволяет второму звену вращаться вокруг оси шарнира.

Рис. 9. Цилиндрический шарнир: с двумя свободными звеньями и с одним закреплённым звеном - опорой.

Где мы можем найти такое соединение в человеческом теле? Это, например, локтевой сустав. Межфаланговые суставы пальцев. Коленный сустав, в первом приближении, тоже подходит, хотя с ним всё несколько сложнее: тут реальная биомеханика сильно отходит от абстрактного механизма.

Рис. 10. Локтевой сустав (распил). (По Синельникову.)

Второй тип шарнира - это шаровой шарнир, где звенья вращаются вокруг общей точки. Опять же, можно считать одно звено неподвижной опорой, тогда второе звено может вращаться вокруг некоторой точки этого шарнира. Точки, а не оси.

Рис. 11. Шаровой шарнир: с двумя свободными звеньями и с одним закреплённым звеном - опорой.

Какие суставы в нашем теле подходят под эту модель? Плечевой и тазобедренный.

Рис. 12. Плечевой сустав (распил). (По Синельникову.)

Рис. 13. Тазобедренный сустав (распил). (По Синельникову.)

Шарниры и степени свободы

Возьмём цилиндрический шарнир с одним закреплённым звеном. На рисунке закреплённое звено изображено просто как неподвижная опора. Свободное звено может двигаться только одним образом: поворачиваться вокруг оси шарнира, оставаясь при этом в одной плоскости. Его незакреплённый конец двигается при этом только по одной линии - дуге окружности с центром на оси шарнира.

В нашем теле аналогом будет, например, локтевой сустав. Нам нужно только зафиксировать плечевую кость. Для этого просто обопрёмся локтем о стол и постараемся не двигать плечом.

Как мы можем задать положение свободного звена? Сколько координат нам для этого надо? Поскольку мы можем только повернуть его вокруг оси, то нам достаточно задать угол поворота. Это и будет единственная координата, которая нам нужна. Для локтевого сустава - то же самое.

Рис. 14. Цилиндрический шарнир и его возможные движения.

Получается, что как цилиндрический шарнир, так и локтевой сустав имеют одну степень свободы.

Теперь рассмотрим шаровой шарнир и его аналог - плечевой сустав. Снова закрепим одно звено шарнира. Чтобы закрепить звено плечевого сустава, нам достаточно постараться не двигать лопаткой.

Шаровой шарнир допускает уже гораздо больше различных движений. Свободное звено может качаться в нём во все стороны. К тому же оно может поворачиваться вокруг собственной продольной оси, оставаясь на месте. Всё то же самое умеет делать и наше плечо. Незакреплённый конец свободного звена двигается при этом уже не по линии, а по участку сферы с центром в шарнире.

Для того, чтобы однозначно задать положение звена, нам потребуются три угла. Два из них задают наклон звена в пространстве, а третий - поворот звена вокруг собственной оси. Получаем три координаты и три степени свободы для шарового шарнира и плечевого сустава.

Рис. 15. Шаровой шарнир и его возможные движения.

Одна, три... А где же две?

Вы, может быть, заметили, что, разговаривая о шарнирах, мы перескочили от одной степени свободы сразу к трём. А есть ли шарниры, имеющие две степени свободы? Простого шарнира нет, но есть механизм, состоящий фактически уже из трёх звеньев: карданная передача. Её свободный конец может так же, как в шаровом шарнире, наклоняться в любую сторону, но не может провернуться вокруг собственной продольной оси. На этом как раз и основано использование карданов в автомобилях с задним приводом.

Рис. 16. Карданная передача.

В человеческом теле карданных передач, конечно, нет, но суставы с двумя степенями свободы встречаются. Это, например, лучезапястный сустав. Зафиксировав предплечье, мы можем наклонять кисть как угодно, но не можем повернуть её вокруг продольной оси. Если вы, проверяя это, всё-таки смогли повернуть кисть, это значит, что вы недостаточно зафиксировали предплечье и использовали его подвижность. Крепко возьмите себя чуть выше запястья другой рукой, не давайте поворачиваться предплечью, и вы убедитесь, что кисть не поворачивается. У этого сустава только две степени свободы.

Человеческие суставы вообще устроены гораздо сложнее, чем простые шарниры. Приведём ещё пару примеров суставов, не подходящих под простейшие механические схемы.

Древо жизни

Кажется, что коленный сустав вполне подходит под схему цилиндрического шарнира. Если мы зафиксируем бедро - например, сядем на стол, свесив ноги, - то колено будет качаться, рисуя дугу, так же, как свободное звено шарнира. Но, на самом деле, при согнутом колене голень может ещё и немного поворачиваться вокруг своей продольной оси, добавляя коленному суставу ещё одну степень свободы. Когда мы сгибаем колено, ослабляется натяжение некоторых связок коленного сустава, крепление голени становится более свободным и появляется возможность поворота, которой нет, когда колено выпрямлено. Получается, что коленный сустав имеет одну степень свободы при почти выпрямленном колене и две при согнутом.

Рис. 17. Возможные движения в коленном суставе.

Локтевой сустав мы тоже приводили как пример цилиндрического шарнира. И он действительно подходит под эту схему, если мы будем рассматривать крепление только локтевой кости. Но, говоря о лучезапястном суставе, мы заметили, что предплечье может поворачиваться, обеспечивая движение пронации/супинации кисти.

Рис. 18. Возможные движения в локтевом суставе и предплечье.

Это возможно из-за сложного устройства локтевого сустава, состоящего фактически из трёх отдельных суставов. В нём сходятся три кости - плечевая, локтевая и лучевая - и каждая пара костей соединяется своим суставом.

Локтевая кость крепится к плечевой суставом с одной степенью свободы, образуя цилиндрический шарнир. А вот лучевая соединяется с плечевой уже шаровидным суставом - аналогом шарового шарнира, с тремя степенями свободы. Подвижность лучевой кости относительно локтевой ограничивается двумя суставами, которыми они скреплены: в локте и в запястье.

Всё это сложное устройство приводит к тому, что лучевая кость может неким своеобразным образом проворачиваться вокруг локтевой. Кисть крепится именно к лучевой кости лучезапястным суставом и поэтому может воспользоваться её подвижностью. При этом локтевая кость остается неподвижной. Т. е. к одной степени свободы, которую имеет локтевой сустав, на протяжении предплечья добавляется ещё одна.

Заметим, что, хотя голень тоже состоит из двух костей - большеберцовой и малоберцовой, - но в ней отсутствует механизм, подобный предплечью, и обе эти кости двигаются как одна.

Дальнейший разбор и классификация суставов человеческого тела требуют отдельной статьи. А здесь мы попробуем усложнить наши механизмы. Мы будем добавлять ещё звенья, чтобы перейти от отдельных суставов к целым конечностям.

Звенья одной цепи

Соединим теперь три звена. Первое будет, как обычно, неподвижной опорой. Второе присоединим к нему цилиндрическим шарниром. А к свободному концу второго звена прикрепим ещё одно звено. Тоже цилиндрическим шарниром. Наш механизм для простоты сделаем плоским: пусть оси обоих шарниров будут параллельны, тогда все звенья будут двигаться в одной плоскости.

Рис. 19. Плоский механизм из трёх звеньев и двух цилиндрических шарниров.

Сколько координат нам понадобится, чтобы задать положение всего механизма? Первое звено неподвижно, его положение известно. Второе звено мы можем повернуть в шарнире на какой-то угол. Не любой: угол поворота как-то ограничен неподвижным звеном, но нам это не важно. Одного этого угла нам достаточно, чтобы задать положение второго звена. Зададим этот угол.

При этом дальний конец первого звена окажется во вполне определённой точке. Мы можем рассчитать положение этой точки по заданному углу и длине этого звена. (Длину звена мы не считаем координатой, поскольку она постоянна.) В этой точке находится шарнир, которым крепится третье звено. Значит, чтобы задать положение и этого звена, нам достаточно задать угол его поворота (например, относительно второго звена) - точно так же, как для второго звена.

Получается, что задав две координаты - два угла - мы задаём положение всего нашего механизма. Значит, у него две степени свободы.

Рис. 20. Плоский механизм из трёх звеньев с угловыми координатами.

Заметьте, что соединив звенья двумя шарнирами, каждый из которых даёт одну степень свободы, мы получили две степени свободы. Т. е. степени свободы просто складываются.

В теле подобный механизм можно найти в пальцах руки: это два последовательных фаланговых сустава.

Рис. 21. Палец руки как пример предыдущей схемы.

Теперь в нашем механизме из трёх звеньев заменим первый шарнир на шаровой, а второй так и оставим цилиндрическим.

Рис. 22. Механизм из трёх звеньев, шарового и цилиндрического шарниров.

Аналогией в нашем теле будет соединение предплечья и плеча с туловищем. При этом мы не учитываем способность предплечья поворачивать кисть.

Рис. 23. Плечо и предплечье как пример предыдущей схемы.

Если вы помните, шаровой шарнир имеет три степени свободы. Прибавляя к ним одну степень свободы второго шарнира, цилиндрического, получаем четыре степени свободы. И действительно: положение второго звена (первое - неподвижное) мы задаём тремя углами. При этом положение второго шарнира и направление его оси вычисляется. Поэтому для задания положения третьего звена нам нужен ещё только один угол его поворота в цилиндрическом шарнире. Значит, чтобы задать точное положение всего механизма, нужны четыре угловые координаты. И наш механизм действительно имеет четыре степени свободы.

Моя ладонь превратилась в кулак

Напоследок подсчитаем степени свободы у всей руки. Пальцы не будем учитывать: сожмём их в кулак. Туловище будем считать неподвижным звеном. Тогда имеем цепь из четырёх звеньев и трёх шарниров: туловище - плечевой сустав - плечо - локтевой сустав - предплечье - лучезапястный сустав - кисть.

Рис. 24. Степени свободы руки без учёта движений пальцев.

Начнём складывать степени свободы. Плечевой сустав - три степени свободы. Локтевой сустав - одна степень свободы. Предплечье - это не обычное звено, а целый механизм, добавляющий ещё одну степень свободы (пронация/супинация кисти). И две степени свободы даёт лучезапястный сустав. Складывая, получаем семь. Таким образом, рука человека (без учёта пальцев) имеет семь степеней свободы.

Ещё раз объясним, что означает это число. Мы выбрали некую механическую модель руки: неподвижно закреплённое туловище, кисть как единое звено (кулак). В этой модели нам нужно ровно семь координат, чтобы однозначно задать положение всей руки. Обопритесь ладонью о стол, зафиксировав таким образом положение кисти. При неподвижном туловище и ладони ваша рука всё равно может двигаться: ваш локоть описывает в воздухе дугу. Если мы хотим задать положение всей руки, определив и положение локтя, нам нужны эти семь координат и больше ничего.

Выше мы писали, что если тело двигается по какой-либо поверхности, то у него две степени свободы. Три - если мы хотим учитывать также и поворот тела в этой плоскости. Будем двигать ладонью по столу. Вот тело, которое двигается по поверхности. Значит, у ладони три степени свободы. А где же семь?

Но мы также писали, что подсчёт степеней свободы зависит от модели, от задачи. Если нам важно только положение ладони на столе и неважно, что там дальше к ней крепится и что с ним происходит, то степени свободы три. Если же мы хотим знать и положение всей руки, то семь.

Действительность ещё сложнее. Если мы, сидя за столом, потянулись за хлебом, то мы включаем дополнительно сложную механику пальцев, а также, возможно, наклон и поворот туловища. Если мы будем рассматривать такую, более сложную, модель, то и количество степеней свободы у всей системы будет гораздо больше. Как наш мозг управляется с расчётом такой кучи координат - опять-таки тема, требующая отдельной статьи.